Данный урок поможет желающим получить представление о теме «Признак перпендикулярности двух плоскостей». В начале него мы повторим определение двугранного и линейного угла. Затем рассмотрим, какие плоскости называются перпендикулярными, и докажем признак перпендикулярности двух плоскостей.
Тема: Перпендикулярность прямых и плоскостей
Урок: Признак перпендикулярности двух плоскостей
Определение. Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями, не принадлежащими одной плоскости, и их общей прямой а (а - ребро).
Рис. 1
Рассмотрим две полуплоскости α и β (рис. 1). Их общая граница - l. Указанная фигура называется двугранным углом. Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла с общим ребром.
Двугранный угол измеряется своим линейным углом. На общем ребре l двугранного угла выберем произвольную точку. В полуплоскостях α и β из этой точки проведем перпендикуляры a и b к прямой l и получим линейный угол двугранного угла.
Прямые a и b образуют четыре угла, равных φ, 180° - φ, φ, 180° - φ. Напомним, углом между прямыми называется наименьший из этих углов.
Определение. Углом между плоскостями называется наименьший из двугранных углов, образованных этими плоскостями. φ - угол между плоскостями α и β, если
Определение. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90°.
Рис. 2
На ребре l выбрана произвольная точка М (рис. 2). Проведем две перпендикулярные прямые МА = а и МВ = b к ребру l в плоскости α и в плоскости β соответственно. Получили угол АМВ. Угол АМВ - это линейный угол двугранного угла. Если угол АМВ равен 90°, то плоскости α и β называются перпендикулярными.
Прямая b перпендикулярна прямой l по построению. Прямая b перпендикулярна прямой а, так как угол между плоскостями α и β равен 90°. Получаем, что прямая b перпендикулярна двум пересекающимся прямым а и l из плоскости α. Значит, прямая b перпендикулярна плоскости α.
Аналогично можно доказать, что прямая а перпендикулярна плоскости β. Прямая а перпендикулярна прямой l по построению. Прямая а перпендикулярна прямой b, так как угол между плоскостями α и β равен 90°. Получаем, что прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым b и l из плоскости β. Значит, прямая а перпендикулярна плоскости β.
Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
Доказать:
Рис. 3
Доказательство:
Пусть плоскости α и β пересекаются по прямой АС (рис. 3). Чтобы доказать, что плоскости взаимно перпендикулярны, нужно построить линейный угол между ними и показать, что этот угол равен 90°.
Прямая АВ перпендикулярна по условию плоскости β, а значит, и прямой АС, лежащей в плоскости β.
Проведем прямую АD перпендикулярно прямой АС в плоскости β. Тогда ВАD -линейный угол двугранного угла.
Прямая АВ перпендикулярна плоскости β, а значит, и прямой АD, лежащей в плоскости β. Значит, линейный угол ВАD равен 90°. Значит, плоскости α и β перпендикулярны, что и требовалось доказать.
Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей (рис. 4).
Доказать:
Рис. 4
Доказательство:
Прямая l перпендикулярна плоскости γ, а плоскость α проходит через прямую l. Значит, по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскости α и γ перпендикулярны.
Прямая l перпендикулярна плоскости γ, а плоскость β проходит через прямую l. Значит, по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскости β и γ перпендикулярны.
Перпендикулярность плоскостей
Определение.
Две плоскости называются перпендикулярными,
если линейный угол при ребре двугранного угла между этими плоскостями - прямой.
Признак перпендикулярности
плоскостей.
Если плоскость проходит через прямую,
перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости
перпендикулярны.
Доказательство. Пусть a
и
?
- две пересекающиеся плоскости, с
- прямая
их пересечения и а
- прямая
перпендикулярная
плоскости
?
и лежащая в
плоскости
a
. А - точка пересечения прямых
a
и с.
В
плоскости
?
из точки А
восстановим
перпендикуляр,
и пусть это будет прямая
b
. Прямая
а
перпендикулярна
плоскости ?
,
а значит она перпендикулярна и любой прямой в этой плоскости, то есть прямые b
и
с
перпендикулярны.
Угол между прямыми а
и Ь -
линейный плоскостями
a
и
?
и
равен он 90°, так
как прямая
а
перпендикулярна прямой
b
(подоказанному).Поопределениюплоскости
a
и
?
перпендикулярны.
Теорема 1 .
Еслииз точки,принадлежащейодной из двух перпендикулярных
плоскостей,провести
перпендикуляр к другой плоскости, то это перпендикуляр
полностью лежит в первой плоскости.
Доказательство. Пусть a
и ?
-
перпендикулярные плоскости и с -
прямая их пересечения, А - точка
лежащаявплоскостиa
и не принадлежащая прямой с.
Пустьперпендикуляр к плоскости ?
проведенный из точки А
, не лежит в плоскости a
,
тогда точка С – основание этого перпендикуляра лежит в
плоскости ?
и
не принадлежит прямой с.
Из точки А
опустим перпендикуляр АВ
напрямую с.
Прямая АВ перпендикулярна
плоскости (использую теорему 2).
Через прямую АВ и точку С
проведем плоскость ?
(прямая и точка определяют плоскость, причем только одну). Мы видим, что в
плоскости
?
из одной точки А
на прямуюВС проведено два перпендикуляра, чего быть не
может, значит прямая АС
совпадает с
прямой АВ, а прямая АВ в
свою очередь полностью лежит в плоскости a
.
Теорема 2 .
Если в одной из двух перпендикулярных плоскостей провести перпендикуляр
к их линии
пересечения, то этот
перпендикуляр будет перпендикулярен второй плоскости.
Доказательство. Пусть a
и ?
- две
перпендикулярные плоскости, с -
прямая их пересечения и а -
прямая
перпендикулярная прямой с
и лежащая в
плоскости
a
. А - точка пересечения прямых а
и с.
В
плоскости
?
из точки А
восстановим перпендикуляр,
и пусть это будет прямая
b
.
Угол
между прямыми
а
и
b
- линейный
угол при ребре двугранного угла между
плоскостями
a
и
?
и
равен он 90°, так как плоскости
a
и
?
перпендикулярны. Прямая
а
перпендикулярна
прямой
b
(по доказанному) и прямой с
по условию.
Значит
прямая
а
перпендикулярна плоскости?
(
Лекция по теме «Признак перпендикулярности двух плоскостей»
Представление о плоскости в пространстве позволяет получить, к примеру, поверхность стола или стены. Однако, стол или стена имеют конечные размеры, а плоскость простирается за их границы в бесконечность.Рассмотрим две пересекающиеся плоскости. При пересечении они образуют четыре двугранных угла с общим ребром.
Вспомним, что из себя представляет двугранный угол.
В реальности мы встречаемся с предметами, которые имеют форму двугранного угла: например, приоткрытая дверь или полураскрытая папка.
При пересечении двух плоскостей альфа и бета получим четыре двугранных угла. Пусть один из двугранных углов равен (фи), тогда второй равен (180 0 –), третий, четвертый (180 0 -).
α и β, 0°< 90 °
Рассмотрим случай, когда один из двугранных углов равен 90 0 .
Тогда, все двугранные углы в этом случае равны по 90 0 .
двугранный угол между плоскостями α и β,
90º
Введем определение перпендикулярных плоскостей:
Две плоскости называются перпендикулярными, если двугранный угол между ними равен 90°.
Угол между плоскостями сигма и эпсилон равен 90 градусов, значит плоскости перпендикулярны
Т.к. =90°
Приведем примеры перпендикулярных плоскостей.
Стена и потолок.
Боковая стенка и крышка стола.
Стена и потолок
Сформулируем признак перпендикулярности двух плоскостей:
ТЕОРЕМА: Если одна их двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Докажем этот признак.
По условию известно что прямая АМ лежит в плоскости α, прямая АМ перпендикулярна плоскости β,
Доказать: плоскости α и β перпендикулярны.
Доказательство:
1) Плоскости α и β пересекаются по прямой АР, при этом АМ АР, так как АМ β по условию, то есть АМ перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости β.
2) Проведем в плоскости β прямую A Т перпендикулярную A Р.
Получим угол Т A М – линейный угол двугранного угла. Но угол Т A М = 90°, так как МА β. Значит, α β.
Что и требовалось доказать.
ТЕОРЕМА: Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Дано: α, β, АМ α, АМβ, АМ∩=А
Доказать: αβ.
Доказательство:
1) α ∩ β = АР, при этом АМ АР, так как АМ β по условию, то есть АМ перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости β.
2) АТβ, A Т A Р.
ТАМ– линейный угол двугранного угла. ТАМ = 90°, т.к. МА β. Значит, α β.
Что и требовалось доказать
Из признака перпендикулярности двух плоскостей имеем важное следствие:
СЛЕДСТВИЕ: Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.
Докажем это следствие: если плоскость гамма перпендикулрна к прямой с то по признаку параллельностидвух плоскостей гамма перпендикулярна к альфа. Аналогично и гамма перпендикулярна бета
То есть: если α∩β=с и γс, то γα и γβ.
т.к. γс и сα из признака перпендикулярности γα.
Аналогично γ β
Указанное следствие переформулируем для двугранного угла:
Плоскость, проходящая через линейный угол двугранного угла перпендикулярна ребру и граням этого двугранного угла. Другими словами, если мы построили линейный угол двугранного угла, то проходящая через него плоскость перпендикулярна ребру и граням этого двугранного угла.
Задача.
Дано: ΔАВС, С = 90°, АС лежит в плоскости α, угол между плоскостями α и ABC = 60°, АС = 5 см, АВ = 13 см.
Найти: расстояние от точки В до плоскости α.
Решение:
1) Построим ВК α. Тогда КС - проекция ВС на эту плоскость.
2) ВС АС (по условию), значит, по теореме о трех перпендикулярах (ТТП), КС АС. Следовательно, ВСК - линейный угол двугранного угла между плоскостью α и плоскостью треугольника АВС. То есть ВСК = 60°.
3) Из ΔВСА по теореме Пифагора:
Из ΔВКС:
Из стереометрии известно условие перпендикулярности двух плоскостей: если плоскость проходит через перпендикуляр к данной плоскости (или параллельна этому перпендикуляру), то она перпендикулярна к данной плоскости.
Через данную точку А можно провести бесчисленное множество плоскостей перпендикулярных данной плоскости Р (рис. 3.19). Эти плоскости образуют в пространстве пучок плоскостей, осью которого является перпендикуляр АВ, опущенный из точки А на плоскость Р.
На эпюре (рис. 3.20) показано построение одной из плоскостей этого пучка. Прежде всего через проекции точки А проведены проекции перпендикуляра АК к данной плоскости. Построение А 1 К 1 и А 2 К 2 не вызывает затруднений, так как плоскость Р задана главными линиями. Затем через проекции той же точки А проведены проекции произвольной линии АD. Эти две пересекающиеся линии АК и АD и определяют искомую плоскость Р.
Примеры позиционных и метрических задач на плоскость
Пример 1 . В плоскости, заданной треугольником АВС, построить точку D (рис. 3.21).
Решение .
1. Необходимо в данной плоскости провести прямую. Зададим для этого две точки, заведомо лежащие в данной плоскости. Одной из таких точек может быть вершина А(А 1 ;А 2) треугольника. Вторую точку Е(Е 1 ;Е 2) зададим на стороне ВС. Через одноименные проекции А 1 и Е 1 , А 2 и Е 2 проведем прямые. Эти прямые являются проекциями прямой. Лежащей в данной плоскости.
2. На построенной прямой АЕ зададим точку D. Для этого построим D 1 ÎА 1 Е 1 и D 2 ÎА 2 Е 2 . Точка D лежит в заданной плоскости, т.к.к она принадлежит прямой АЕ, лежащей в этой плоскости
Пример 2 . Построить линию наибольшего уклона плоскости, заданной параллельными прямыми а(а 1 ; а 2) и b(b 1 ; b 2) и определить угол a между этой плоскостью и горизонтальной плоскостью проекций (рис. 3.22)
Решение
- Проведем горизонталь h данной плоскости (см. гл.3 рис. 3.3, в). Проекциями этой горизонтали будут прямые h 1 и h 2 .
- Проведем прямую, перпендикулярную к горизонтальной проекции горизонтали, и отметим точки С 1 - пересечения её с h 1 D 1 – са 1 . Прямая С 1 D 1 является горизонтальной проекцией линии наибольшего ската.
- Построим фронтальные проекции С 2 и D 2 . Для этого из С 1 и D 1 проведем вертикальные линии связи до пересечения соответственно с h 2 и а 2 .
- Прямая, соединяющая точки С 2 и D 2 , является фронтальной проекцией линии наибольшего уклона.
- Угол a определяем из прямоугольного треугольника D 1 C 1 E 0 , построенного на С 1 D 1 как на катете. Второй катет D 0 D 1 = E 2 D 2 . Искомый угол a=ÐD 0 C 1 D 1
Пример 3 . Задана плоскость пересекающимися прямыми АВ и CD. Определить лежит ли прямая KL в этой плоскости.
Решение .
1. Обозначим точки пересечения фронтальных проекций прямых АВ и KL через 1 2 и прямых CD и KL через 2 2 .
2. Строим их горизонтальные проекции – точки 1 1 и 2 2 на горизонтальной проекции (K 1 L 1) прямой KL. Из построения видно, что точки 1(1 1 1 2) и 2(2 1 2 2) прямая KL на заданной плоскости не лежат. Следовательно, прямая KL в плоскости не лежит. Решение этой задачи можно начать и с пересечения горизонтальных проекций.
Пример 4 . В плоскости, заданной двумя параллельными прямыми АВ и CD, провести фронталь на расстоянии 15 мм от фронтальной плоскости проекций (рис. 3.24)
Решение . Проводим на расстоянии 15 мм от оси проекций параллельную ей горизонтальную проекцию (1 1 -2 2) фронтали, которая пересекает прямые А 1 В 1 и C 1 D 1 в точках 1 1 и 2 2 .
Затем находим точки 1 1 и 2 2 на прямых А 2 В 2 и C 2 D 2 и проводим через них фронтальную проекцию (1 2 2 2) фронтали.
Пример 5 . Найти прямую пересечения плоскостей Р и Q.
Решение . Плоскость Р и Q пересекаются по прямой общего положения, проходящей через точку-след (М 1 ;М 2) пересечения горизонтальных следов плоскостей. Точка-след (N 1 ;N 2) пересечения фронтальных следов плоскостей недоступна, т.к. эти следы плоскостей по заданию, в пределах чертежа не пересекаются.
Вместо точки (N 1 ;N 2) необходимо найти другую произвольную точку прямой пересечения, общую для заданных плоскостей. Для этого вводим вспомогательную плоскость R, например параллельную П которая, как известно, пересекает каждую из данных плоскостей по горизонтали. На их пересечении получаем вспомогательную точку (К 1 ;К 2), общую для данных плоскостей. Найдя эту вторую точку (К 1 ;К 2) прямой, проводим её проекцию: горизонтальную – через точки М 1 и К 1 и фронтальную через точки М 2 и К 2 .
Пример 6 . Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью Р (рис. 3.26)
Решение . Обозначим искомую точку через точку К. Так как точка К (К 1 ;К 2) лежит на профильно-проецирующей плоскости. То её профильная проекция (К 3) должна лежать на профильном следе (Р 3) плоскости. Вместе с тем, так как эта же точка лежит и на прямой АВ, то её профильная проекция (К 3) должна лежать так же где-то на профильной проекции (А 3 В 3) прямой. Следовательно искомая точка должна лежать на их пересечении. Найдя профильный след плоскости и профильную проекцию прямой, получаем на их пересечении профильную проекцию (К 3) искомой точки. Зная профильную проекцию (К 3) искомой точки, находим две другие её проекции на одноименных проекциях прямой.
Пример 7 . Даны плоскость Р и точка А. Определить расстояние то точки до плоскости (рис. 3.27)
Решение . Опускаем из точки А (А 1 ;А 2) перпендикуляр на плоскость Р и находим его основание на этой плоскости, для чего ищем точку К (К 1 ;К 2) пересечения перпендикуляра с плоскостью. Имея проекции (А 1 К 1 ;А 2 К 2) отрезка перпендикуляра, определим его действительную величину методом прямоугольного треугольника.
Пример 8 . Даны треугольник АВС и точка К. Определить расстояние между ними. (рис. 3.28)
Решение . Опускаем из заданной точки Е (Е 1 ;Е 2) перпендикуляр на плоскость треугольника: К 1 Е 1 перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали (К 1 Е 1 ^С 1 F 1), К 2 Е 2 перпендикулярно фронтальной проекции фронтали (К 2 Е 2 ^А 2 D 2). Находим точку пересечения перпендикуляра с плоскостью треугольника (К 1 ;К 2) , определяем натуральную величину отрезка перпендикуляра (К 1 Е 1 ;К 2 Е 2) методом прямоугольного треугольника.
Глава 4
Методы преобразования комплексного чертежа (эпюра Монжа)