Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Разложить на множители большое число – нелегкая задача. Большинство людей затрудняются раскладывать четырех- или пятизначные числа. Для упрощения процесса запишите число над двумя колонками.

• Разложим на множители число 6552.

Разделите данное число на наименьший простой делитель (кроме 1), на который данное число делится без остатка. Запишите этот делитель в левой колонке, а в правой колонке запишите результат деления. Как отмечалось выше, четные числа легко раскладывать на множители, так как их наименьшим простым множителем всегда будет число 2 (у нечетных чисел наименьшие простые множители различны).

• В нашем примере число 6552 – четное, поэтому 2 является его наименьшим простым множителем. 6552 ÷ 2 = 3276. В левой колонке запишите 2, а в правой - 3276.

Далее разделите число в правой колонке на наименьший простой делитель (кроме 1), на который данное число делится без остатка. Запишите этот делитель в левой колонке, а в правой колонке запишите результат деления (продолжите этот процесс до тех пор, пока в правой колонке не останется 1).

• В нашем примере: 3276 ÷ 2 = 1638. В левой колонке запишите 2, а в правой - 1638. Далее: 1638 ÷ 2 = 819. В левой колонке запишите 2, а в правой - 819.

Вы получили нечетное число; для таких чисел найти наименьший простой делитель сложнее. Если вы получили нечетное число, попробуйте разделить его на наименьшие простые нечетные числа: 3, 5, 7, 11.

• В нашем примере вы получили нечетное число 819. Разделите его на 3: 819 ÷ 3 = 273. В левой колонке запишите 3, а в правой - 273.
• При подборе делителей опробуйте все простые числа вплоть до квадратного корня из наибольшего делителя, который вы нашли. Если ни один делитель не делит число нацело, то вы, скорее всего, получили простое число и можете прекратить вычисления.

Продолжите процесс деления чисел на простые делители до тех пор, пока в правой колонке не останется 1 (если в правой колонке вы получили простое число, разделите его само на себя, чтобы получить 1).

• Продолжим вычисления в нашем примере:
  • Разделите на 3: 273 ÷ 3 = 91. Остатка нет. В левой колонке запишите 3, а в правой - 91.
  • Разделите на 3. 91 делится на 3 с остатком, поэтому разделите на 5. 91 делится на 5 с остатком, поэтому разделите на 7: 91 ÷ 7 = 13. Остатка нет. В левой колонке запишите 7, а в правой - 13.
  • Разделите на 7. 13 делится на 7 с остатком, поэтому разделите на 11. 13 делится на 11 с остатком, поэтому разделите на 13: 13 ÷ 13 = 1. Остатка нет. В левой колонке запишите 13, а в правой - 1. Ваши вычисления закончены.

В левой колонке представлены простые множители исходного числа. Другими словами, при перемножении всех чисел из левой колонки вы получите число, записанное над колонками. Если один множитель появляется в списке множителей несколько раз, используйте показатели степени для его обозначения. В нашем примере в списке множителей 2 появляется 4 раза; запишите эти множители как 2 4 , а не как 2*2*2*2.

• В нашем примере 6552 = 2 3 × 3 2 × 7 × 13. Вы разложили число 6552 на простые множители (порядок множителей в этой записи не имеет значения).

Введите число:

Все натуральные числа делятся на простые и составные . Первые отличаются тем, что их можно разделить только на самих себя и на единицу. Простых чисел достаточно много. Представляем вам только первые из них: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107 и т.д.

А вот составное число может быть записано в виде нескольких простых чисел, перемноженных между собой.

Теорема гласит, что если обозначить некое составное число как n , а его потенциальный простой делитель как р , то последний (хотя бы один из множества) может обладать следующей характеристикой: р 2 ≤ n .

При этом 1 считается не простым и не составным числом. Она словно сама по себе.

Процесс разложения составного числа на множители называется факторизацией .

Какими путями можно разложить на множители составное число? Есть несколько способов:

1. Для разложения небольших чисел можете прибегнуть к помощи таблицы умножения.
2. Для разложения на множители больших чисел используйте таблицу простых чисел.

   Работает это так: предположим, у вас есть некое четырехзначное число. Найдите в таблице его наименьший делитель. Разделите свое число на этот делитель – получилось некое трехзначное число. Теперь переберите числа в таблице и найдите делитель для этого трехзначного числа. И так далее о тех пор, пока в конце у вас не останется простое число, которое, по определению, нельзя разложить на простые множители. Произведение всех найденных вами чисел и есть простые множители исходного числа.

   Записать это можно так:

3. Вы также можете воспользоваться нашим калькулятором для разложения числа на простые множители онлайн

Задайте программе составное число любой сложности – она легко и быстро разложит его на простые множители и представит вам результат. Вы можете пользоваться программой, чтобы проверить себя. Или чтобы ускорить выполнение домашней работы.

Это гораздо быстрее, чем перебирать числа в таблице простых чисел. И удобнее, чем вычислять в уме.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

В этой статье Вы найдете всю необходимую информацию, отвечающую на вопрос, как разложить число на простые множители . Сначала дано общее представление о разложении числа на простые множители, приведены примеры разложений. Дальше показана каноническая форма разложения числа на простые множители. После этого дан алгоритм разложения произвольных чисел на простые множители и приведены примеры разложения чисел с использованием этого алгоритма. Также рассмотрены альтернативные способы, позволяющие быстро раскладывать небольшие целые числа на простые множители с использованием признаков делимости и таблицы умножения.

Навигация по странице.

Что значит разложить число на простые множители?

Сначала разберемся с тем, что такое простые множители.

Понятно, раз в этом словосочетании присутствует слово «множители», то имеет место произведение каких-то чисел, а уточняющее слово «простые» означает, что каждый множитель является простым числом . Например, в произведении вида 2·7·7·23 присутствуют четыре простых множителя: 2 , 7 , 7 и 23 .

А что же значит разложить число на простые множители?

Это значит, что данное число нужно представить в виде произведения простых множителей, причем значение этого произведения должно быть равно исходному числу. В качестве примера рассмотрим произведение трех простых чисел 2 , 3 и 5 , оно равно 30 , таким образом, разложение числа 30 на простые множители имеет вид 2·3·5 . Обычно разложение числа на простые множители записывают в виде равенства, в нашем примере оно будет таким: 30=2·3·5 . Отдельно подчеркнем, что простые множители в разложении могут повторяться. Это явно иллюстрирует следующий пример: 144=2·2·2·2·3·3 . А вот представление вида 45=3·15 не является разложением на простые множители, так как число 15 – составное.

Возникает следующий вопрос: «А какие вообще числа можно разложить на простые множители»?

В поисках ответа на него, приведем следующие рассуждения. Простые числа по определению находятся среди , больших единицы. Учитывая этот факт и , можно утверждать, что произведение нескольких простых множителей является целым положительным числом, превосходящим единицу. Поэтому разложение на простые множители имеет место лишь для положительных целых чисел, которые больше 1 .

Но все ли целые числа, превосходящие единицу, раскладываются на простые множители?

Понятно, что простые целые числа разложить на простые множители нет возможности. Это объясняется тем, что простые числа имеют только два положительных делителя – единицу и самого себя, поэтому они не могут быть представлены в виде произведения двух или большего количества простых чисел. Если бы целое число z можно было бы представить в виде произведения простых чисел a и b , то понятие делимости позволило бы сделать вывод, что z делится и на a и на b , что невозможно в силу простоты числа z. Однако считают, что любое простое число само является своим разложением.

А как насчет составных чисел? Раскладываются ли составные числа на простые множители, и все ли составные числа подлежат такому разложению? Утвердительный ответ на ряд этих вопросов дает основная теорема арифметики . Основная теорема арифметики утверждает, что любое целое число a , которое больше 1 , можно разложить на произведение простых множителей p 1 , p 2 , …, p n , при этом разложение имеет вид a=p 1 ·p 2 ·…·p n , причем это разложение единственно, если не учитывать порядок следования множителей

Каноническое разложение числа на простые множители

В разложении числа простые множители могут повторяться. Повторяющиеся простые множители можно записать более компактно, используя . Пусть в разложении числа a простой множитель p 1 встречается s 1 раз, простой множитель p 2 – s 2 раз, и так далее, p n – s n раз. Тогда разложение на простые множители числа a можно записать как a=p 1 s 1 ·p 2 s 2 ·…·p n s n . Такая форма записи представляет собой так называемое каноническое разложение числа на простые множители .

Приведем пример канонического разложения числа на простые множители. Пусть нам известно разложение 609 840=2·2·2·2·3·3·5·7·11·11 , его каноническая форма записи имеет вид 609 840=2 4 ·3 2 ·5·7·11 2 .

Каноническое разложение числа на простые множители позволяет найти все делители числа и число делителей числа .

Алгоритм разложения числа на простые множители

Чтобы успешно справиться с задачей разложения числа на простые множители, нужно очень хорошо владеть информацией статьи простые и составные числа .

Суть процесса разложения целого положительного и превосходящего единицу числа a понятна из доказательства основной теоремы арифметики . Смысл состоит в последовательном нахождении наименьших простых делителей p 1 , p 2 , …,p n чисел a, a 1 , a 2 , …, a n-1 , что позволяет получить ряд равенств a=p 1 ·a 1 , где a 1 =a:p 1 , a=p 1 ·a 1 =p 1 ·p 2 ·a 2 , где a 2 =a 1:p 2 , …, a=p 1 ·p 2 ·…·p n ·a n , где a n =a n-1:p n . Когда получается a n =1 , то равенство a=p 1 ·p 2 ·…·p n даст нам искомое разложение числа a на простые множители. Здесь же следует заметить, что p 1 ≤p 2 ≤p 3 ≤…≤p n .

Осталось разобраться с нахождением наименьших простых делителей на каждом шаге, и мы будем иметь алгоритм разложения числа на простые множители. Находить простые делители нам поможет таблица простых чисел . Покажем, как с ее помощью получить наименьший простой делитель числа z .

Последовательно берем простые числа из таблицы простых чисел (2 , 3 , 5 , 7 , 11 и так далее) и делим на них данное число z . Первое простое число, на которое z разделится нацело, и будет его наименьшим простым делителем. Если число z простое, то его наименьшим простым делителем будет само число z . Здесь же следует напомнить, что если z не является простым числом, то его наименьший простой делитель не превосходит числа , где - из z . Таким образом, если среди простых чисел, не превосходящих , не нашлось ни одного делителя числа z , то можно делать вывод о том, что z – простое число (более подробно об этом написано в разделе теории под заголовком данное число простое или составное).

Для примера покажем, как найти наименьший простой делитель числа 87 . Берем число 2 . Делим 87 на 2 , получаем 87:2=43 (ост. 1) (если необходимо, смотрите статью ). То есть, при делении 87 на 2 получается остаток 1 , поэтому 2 – не является делителем числа 87 . Берем следующее простое число из таблицы простых чисел, это число 3 . Делим 87 на 3 , получаем 87:3=29 . Таким образом, 87 делится на 3 нацело, следовательно, число 3 является наименьшим простым делителем числа 87 .

Заметим, что в общем случае для разложения на простые множители числа a нам потребуется таблица простых чисел до числа, не меньшего, чем . К этой таблице нам придется обращаться на каждом шаге, так что ее нужно иметь под рукой. Например, для разложения на простые множители числа 95 нам будет достаточно таблицы простых чисел до 10 (так как 10 больше, чем ). А для разложения числа 846 653 уже будет нужна таблица простых чисел до 1 000 (так как 1 000 больше, чем ).

Теперь мы обладаем достаточными сведениями, чтобы записать алгоритм разложения числа на простые множители . Алгоритм разложения числа a таков:

• Последовательно перебирая числа из таблицы простых чисел, находим наименьший простой делитель p 1 числа a , после чего вычисляем a 1 =a:p 1 . Если a 1 =1 , то число a – простое, и оно само является своим разложением на простые множители. Если же a 1 на равно 1 , то имеем a=p 1 ·a 1 и переходим к следующему шагу.
• Находим наименьший простой делитель p 2 числа a 1 , для этого последовательно перебираем числа из таблицы простых чисел, начиная с p 1 , после чего вычисляем a 2 =a 1:p 2 . Если a 2 =1 , то искомое разложение числа a на простые множители имеет вид a=p 1 ·p 2 . Если же a 2 на равно 1 , то имеем a=p 1 ·p 2 ·a 2 и переходим к следующему шагу.
• Перебирая числа из таблицы простых чисел, начиная с p 2 , находим наименьший простой делитель p 3 числа a 2 , после чего вычисляем a 3 =a 2:p 3 . Если a 3 =1 , то искомое разложение числа a на простые множители имеет вид a=p 1 ·p 2 ·p 3 . Если же a 3 на равно 1 , то имеем a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 и переходим к следующему шагу.
• Находим наименьший простой делитель p n числа a n-1 , перебирая простые числа, начиная с p n-1 , а также a n =a n-1:p n , причем a n получается равно 1 . Этот шаг является последним шагом алгоритма, здесь получаем искомое разложение числа a на простые множители: a=p 1 ·p 2 ·…·p n .

Все результаты, полученные на каждом шаге алгоритма разложения числа на простые множители, для наглядности представляют в виде следующей таблицы, в которой слева от вертикальной черты записывают последовательно в столбик числа a, a 1 , a 2 , …, a n , а справа от черты – соответствующие наименьшие простые делители p 1 , p 2 , …, p n .

Осталось лишь рассмотреть несколько примеров применения полученного алгоритма для разложения чисел на простые множители.

Примеры разложения на простые множители

Сейчас мы подробно разберем примеры разложения чисел на простые множители . При разложении будем применять алгоритм из предыдущего пункта. Начнем с простых случаев, и постепенно их будем усложнять, чтобы столкнуться со всеми возможными нюансами, возникающими при разложении чисел на простые множители.

Пример.

Разложите число 78 на простые множители.

Решение.

Начинаем поиск первого наименьшего простого делителя p 1 числа a=78 . Для этого начинаем последовательно перебирать простые числа из таблицы простых чисел. Берем число 2 и делим на него 78 , получаем 78:2=39 . Число 78 разделилось на 2 без остатка, поэтому p 1 =2 – первый найденный простой делитель числа 78 . В этом случае a 1 =a:p 1 =78:2=39 . Так мы приходим к равенству a=p 1 ·a 1 имеющему вид 78=2·39 . Очевидно, что a 1 =39 отлично от 1 , поэтому переходим ко второму шагу алгоритма.

Теперь ищем наименьший простой делитель p 2 числа a 1 =39 . Начинаем перебор чисел из таблицы простых чисел, начиная с p 1 =2 . Делим 39 на 2 , получаем 39:2=19 (ост. 1) . Так как 39 не делится нацело на 2 , то 2 не является его делителем. Тогда берем следующее число из таблицы простых чисел (число 3 ) и делим на него 39 , получаем 39:3=13 . Следовательно, p 2 =3 – наименьший простой делитель числа 39 , при этом a 2 =a 1:p 2 =39:3=13 . Имеем равенство a=p 1 ·p 2 ·a 2 в виде 78=2·3·13 . Так как a 2 =13 отлично от 1 , то переходим к следующему шагу алгоритма.

Здесь нам нужно отыскать наименьший простой делитель числа a 2 =13 . В поисках наименьшего простого делителя p 3 числа 13 будем последовательно перебирать числа из таблицы простых чисел, начиная с p 2 =3 . Число 13 не делится на 3 , так как 13:3=4 (ост. 1) , также 13 не делится на 5 , 7 и на 11 , так как 13:5=2 (ост. 3) , 13:7=1 (ост. 6) и 13:11=1 (ост. 2) . Следующим простым числом является 13 , и на него 13 делится без остатка, следовательно, наименьший простой делитель p 3 числа 13 есть само число 13 , и a 3 =a 2:p 3 =13:13=1 . Так как a 3 =1 , то этот шаг алгоритма является последним, а искомое разложение числа 78 на простые множители имеет вид 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3 ).

Ответ:

78=2·3·13 .

Пример.

Представьте число 83 006 в виде произведения простых множителей.

Решение.

На первом шаге алгоритма разложения числа на простые множители находим p 1 =2 и a 1 =a:p 1 =83 006:2=41 503 , откуда 83 006=2·41 503 .

На втором шаге выясняем, что 2 , 3 и 5 не являются простыми делителями числа a 1 =41 503 , а число 7 – является, так как 41 503:7=5 929 . Имеем p 2 =7 , a 2 =a 1:p 2 =41 503:7=5 929 . Таким образом, 83 006=2·7·5 929 .

Наименьшим простым делителем числа a 2 =5 929 является число 7 , так как 5 929:7=847 . Таким образом, p 3 =7 , a 3 =a 2:p 3 =5 929:7=847 , откуда 83 006=2·7·7·847 .

Дальше находим, что наименьший простой делитель p 4 числа a 3 =847 равен 7 . Тогда a 4 =a 3:p 4 =847:7=121 , поэтому 83 006=2·7·7·7·121 .

Теперь находим наименьший простой делитель числа a 4 =121 , им является число p 5 =11 (так как 121 делится на 11 и не делится на 7 ). Тогда a 5 =a 4:p 5 =121:11=11 , и 83 006=2·7·7·7·11·11 .

Наконец, наименьший простой делитель числа a 5 =11 – это число p 6 =11 . Тогда a 6 =a 5:p 6 =11:11=1 . Так как a 6 =1 , то этот шаг алгоритма разложения числа на простые множители является последним, и искомое разложение имеет вид 83 006=2·7·7·7·11·11 .

Полученный результат можно записать как каноническое разложение числа на простые множители 83 006=2·7 3 ·11 2 .

Ответ:

83 006=2·7·7·7·11·11=2·7 3 ·11 2 991 – простое число. Действительно, оно не имеет ни одного простого делителя, не превосходящего ( можно грубо оценить как , так как очевидно, что 991<40 2 ), то есть, наименьшим делителем числа 991 является оно само. Тогда p 3 =991 и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1 . Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289 на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991 .

Ответ:

897 924 289=937·967·991 .

Использование признаков делимости для разложения на простые множители

В простых случаях разложить число на простые множители можно без использования алгоритма разложения из первого пункта данной статьи. Если числа не большие, то для их разложения на простые множители часто достаточно знать и признаки делимости . Приведем примеры для пояснения.

Например, нам требуется разложить на простые множители число 10 . Из таблицы умножения мы знаем, что 2·5=10 , а числа 2 и 5 очевидно простые, поэтому разложение на простые множители числа 10 имеет вид 10=2·5 .

Еще пример. При помощи таблицы умножения разложим на простые множители число 48 . Мы знаем, что шестью восемь – сорок восемь, то есть, 48=6·8 . Однако, ни 6 , ни 8 не являются простыми числами. Но мы знаем, что дважды три – шесть, и дважды четыре – восемь, то есть, 6=2·3 и 8=2·4 . Тогда 48=6·8=2·3·2·4 . Осталось вспомнить, что дважды два – четыре, тогда получим искомое разложение на простые множители 48=2·3·2·2·2 . Запишем это разложение в канонической форме: 48=2 4 ·3 .

А вот при разложении на простые множители числа 3 400 можно воспользоваться признаками делимости. Признаки делимости на 10, 100 позволяют утверждать, что 3 400 делится на 100 , при этом 3 400=34·100 , а 100 делится на 10 , при этом 100=10·10 , следовательно, 3 400=34·10·10 . А на основании признака делимости на 2 можно утверждать, что каждый из множителей 34 , 10 и 10 делится на 2 , получаем 3 400=34·10·10=2·17·2·5·2·5 . Все множители в полученном разложении являются простыми, поэтому это разложение является искомым. Осталось лишь переставить множители, чтобы они шли в порядке возрастания: 3 400=2·2·2·5·5·17 . Запишем также каноническое разложение данного числа на простые множители: 3 400=2 3 ·5 2 ·17 .

При разложении данного числа на простые множители можно использовать по очереди и признаки делимости и таблицу умножения. Представим число 75 в виде произведения простых множителей. Признак делимости на 5 позволяет нам утверждать, что 75 делится на 5 , при этом получаем, что 75=5·15 . А из таблицы умножения мы знаем, что 15=3·5 , поэтому, 75=5·3·5 . Это и есть искомое разложение числа 75 на простые множители.

Список литературы.

• Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
• Виноградов И.М. Основы теории чисел.
• Михелович Ш.Х. Теория чисел.
• Куликов Л.Я. и др. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное пособие для студентов физ.-мат. специальностей педагогических институтов.

Что значит разложить на множители? Это значит найти числа, произведение которых равно исходному числу.

Чтобы понять, что значит разложить на множители, рассмотрим пример.

Пример разложения числа на множители

Разложить на множители число 8.

Число 8 можно представить в виде произведения 2 на 4:

Представление 8 в виде произведения 2 * 4 и значит разложение на множители.

Обратите внимание, что это не единственное разложение 8 на множители.

Ведь 4 разлагается на множители так:

Отсюда 8 можно представить:

8 = 2 * 2 * 2 = 2 3

Проверяем наш ответ. Найдем, чему равно разложение на множители:

То есть получили исходное число, ответ верный.

Разложите на простые множители число 24

Как разложить на простые множители число 24?

Простым называют число, если оно нацело делится только на единицу и на себя.

Число 8 можно представить в виде произведения 3 на 8:

Здесь число 24 разложено на множители. Но в задании сказано "разложить на простые множители число 24", т.е. нужны именно простые множители. А в нашем разложении 3 является простым множителем, а 8 не является простым множителем.