Среднеквадрати́ческое отклоне́ние (синонимы: среднее квадрати́ческое отклоне́ние , среднеквадрати́чное отклоне́ние , квадрати́чное отклоне́ние ; близкие термины: станда́ртное отклоне́ние , станда́ртный разбро́с ) - в теории вероятностей и статистике наиболее распространённый показатель рассеивания значений случайной величины относительно её математического ожидания . При ограниченных массивах выборок значений вместо математического ожидания используется среднее арифметическое совокупности выборок.

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  Среднеквадратическое отклонение измеряется в единицах измерения самой случайной величины и используется при расчёте стандартной ошибки среднего арифметического , при построении доверительных интервалов , при статистической проверке гипотез , при измерении линейной взаимосвязи между случайными величинами. Определяется как квадратный корень из дисперсии случайной величины .

  Среднеквадратическое отклонение:

  s = n n − 1 σ 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n (x i − x ¯) 2 ; {\displaystyle s={\sqrt {{\frac {n}{n-1}}\sigma ^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}};}
  • Примечание: Очень часто встречаются разночтения в названиях СКО (Среднеквадратического отклонения) и СТО (Стандартного отклонения) с их формулами. Например, в модуле numPy языка программирования Python функция std() описывается как "standart deviation", в то время как формула отражает СКО (деление на корень из выборки). В Excel же функция СТАНДОТКЛОН() другая (деление на корень из n-1).

  Стандартное отклонение (оценка среднеквадратического отклонения случайной величины x относительно её математического ожидания на основе несмещённой оценки её дисперсии) s {\displaystyle s} :

  σ = 1 n ∑ i = 1 n (x i − x ¯) 2 . {\displaystyle \sigma ={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}}.}

  где σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} - дисперсия ; x i {\displaystyle x_{i}} - i -й элемент выборки; n {\displaystyle n} - объём выборки; - среднее арифметическое выборки:

  x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + … + x n) . {\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\frac {1}{n}}(x_{1}+\ldots +x_{n}).}

  Следует отметить, что обе оценки являются смещёнными. В общем случае несмещённую оценку построить невозможно. Однако оценка на основе оценки несмещённой дисперсии является состоятельной .

  В соответствии с ГОСТ Р 8.736-2011 среднеквадратическое отклонение считается по второй формуле данного раздела. Пожалуйста, сверьте результаты.

  Правило трёх сигм

  Правило трёх сигм ( 3 σ {\displaystyle 3\sigma } ) - практически все значения нормально распределённой случайной величины лежат в интервале (x ¯ − 3 σ ; x ¯ + 3 σ) {\displaystyle \left({\bar {x}}-3\sigma ;{\bar {x}}+3\sigma \right)} . Более строго - приблизительно с вероятностью 0,9973 значение нормально распределённой случайной величины лежит в указанном интервале (при условии, что величина x ¯ {\displaystyle {\bar {x}}} истинная, а не полученная в результате обработки выборки).

  Если же истинная величина x ¯ {\displaystyle {\bar {x}}} неизвестна, то следует пользоваться не σ {\displaystyle \sigma } , а s . Таким образом, правило трёх сигм преобразуется в правило трёх s .

  Интерпретация величины среднеквадратического отклонения

  Большее значение среднеквадратического отклонения показывает больший разброс значений в представленном множестве со средней величиной множества; меньшее значение, соответственно, показывает, что значения в множестве сгруппированы вокруг среднего значения.

  Например, у нас есть три числовых множества: {0, 0, 14, 14}, {0, 6, 8, 14} и {6, 6, 8, 8}. У всех трёх множеств средние значения равны 7, а среднеквадратические отклонения, соответственно, равны 7, 5 и 1. У последнего множества среднеквадратическое отклонение маленькое, так как значения в множестве сгруппированы вокруг среднего значения; у первого множества самое большое значение среднеквадратического отклонения - значения внутри множества сильно расходятся со средним значением.

  В общем смысле среднеквадратическое отклонение можно считать мерой неопределённости. К примеру, в физике среднеквадратическое отклонение используется для определения погрешности серии последовательных измерений какой-либо величины. Это значение очень важно для определения правдоподобности изучаемого явления в сравнении с предсказанным теорией значением: если среднее значение измерений сильно отличается от предсказанных теорией значений (большое значение среднеквадратического отклонения), то полученные значения или метод их получения следует перепроверить. отождествляется с риском портфеля.

  Климат

  Предположим, существуют два города с одинаковой средней максимальной дневной температурой, но один расположен на побережье, а другой на равнине. Известно, что в городах, расположенных на побережье, множество различных максимальных дневных температур меньше, чем у городов, расположенных внутри континента. Поэтому среднеквадратическое отклонение максимальных дневных температур у прибрежного города будет меньше, чем у второго города, несмотря на то, что среднее значение этой величины у них одинаковое, что на практике означает, что вероятность того, что максимальная температура воздуха каждого конкретного дня в году будет сильнее отличаться от среднего значения, выше у города, расположенного внутри континента.

  Спорт

  Предположим, что есть несколько футбольных команд, которые оцениваются по некоторому набору параметров, например, количеству забитых и пропущенных голов, голевых моментов и т. п. Наиболее вероятно, что лучшая в этой группе команда будет иметь лучшие значения по большему количеству параметров. Чем меньше у команды среднеквадратическое отклонение по каждому из представленных параметров, тем предсказуемее является результат команды, такие команды являются сбалансированными. С другой стороны, у команды с большим значением среднеквадратического отклонения сложно предсказать результат, что в свою очередь объясняется дисбалансом, например, сильной защитой, но слабым нападением.

  Использование среднеквадратического отклонения параметров команды позволяет в той или иной мере предсказать результат матча двух команд, оценивая сильные и слабые стороны команд, а значит, и выбираемых способов борьбы.

  Материал из Википедии - свободной энциклопедии

  Среднеквадрати́ческое отклоне́ние (синонимы: среднее квадрати́ческое отклоне́ние , среднеквадрати́чное отклоне́ние , квадрати́чное отклоне́ние ; близкие термины: станда́ртное отклоне́ние , станда́ртный разбро́с ) - в теории вероятностей и статистике наиболее распространённый показатель рассеивания значений случайной величины относительно её математического ожидания . При ограниченных массивах выборок значений вместо математического ожидания используется среднее арифметическое совокупности выборок.

  Основные сведения

  Среднеквадратическое отклонение измеряется в единицах измерения самой случайной величины и используется при расчёте стандартной ошибки среднего арифметического , при построении доверительных интервалов , при статистической проверке гипотез , при измерении линейной взаимосвязи между случайными величинами. Определяется как квадратный корень из дисперсии случайной величины .

  Среднеквадратическое отклонение:

  $\backslash sigma=\backslash sqrt\{\backslash frac\{1\}\{n\}\backslash sum\_\{i=1\}^n\backslash left(x\_i-\backslash bar\{x\}\backslash right)^2\}.$

  Стандартное отклонение (оценка среднеквадратического отклонения случайной величины x относительно её математического ожидания на основе несмещённой оценки её дисперсии) $s$:

  $s=\backslash sqrt\{\backslash frac\{n\}\{n-1\}\backslash sigma^2\}=\backslash sqrt\{\backslash frac\{1\}\{n-1\}\backslash sum\_\{i=1\}^n\backslash left(x\_i-\backslash bar\{x\}\backslash right)^2\};$

  Правило трёх сигм

  Правило трёх сигм ($3\backslash sigma$) - практически все значения нормально распределённой случайной величины лежат в интервале $\backslash left(\backslash bar\{x\}-3\backslash sigma;\backslash bar\{x\}+3\backslash sigma\backslash right)$. Более строго - приблизительно с вероятностью 0,9973 значение нормально распределённой случайной величины лежит в указанном интервале (при условии, что величина $\backslash bar\{x\}$ истинная, а не полученная в результате обработки выборки).

  Если же истинная величина $\backslash bar\{x\}$ неизвестна, то следует пользоваться не $\backslash sigma$, а s . Таким образом, правило трёх сигм преобразуется в правило трёх s .

  Интерпретация величины среднеквадратического отклонения

  Большее значение среднеквадратического отклонения показывает больший разброс значений в представленном множестве со средней величиной множества; меньшее значение, соответственно, показывает, что значения в множестве сгруппированы вокруг среднего значения.

  Например, у нас есть три числовых множества: {0, 0, 14, 14}, {0, 6, 8, 14} и {6, 6, 8, 8}. У всех трёх множеств средние значения равны 7, а среднеквадратические отклонения, соответственно, равны 7, 5 и 1. У последнего множества среднеквадратическое отклонение маленькое, так как значения в множестве сгруппированы вокруг среднего значения; у первого множества самое большое значение среднеквадратического отклонения - значения внутри множества сильно расходятся со средним значением.

  В общем смысле среднеквадратическое отклонение можно считать мерой неопределённости. К примеру, в физике среднеквадратическое отклонение используется для определения погрешности серии последовательных измерений какой-либо величины. Это значение очень важно для определения правдоподобности изучаемого явления в сравнении с предсказанным теорией значением: если среднее значение измерений сильно отличается от предсказанных теорией значений (большое значение среднеквадратического отклонения), то полученные значения или метод их получения следует перепроверить.

  Практическое применение

  На практике среднеквадратическое отклонение позволяет оценить, насколько значения из множества могут отличаться от среднего значения.

  Экономика и финансы

  Среднее квадратическое отклонение доходности портфеля $\backslash sigma\; =\backslash sqrt\{D[X]\}$ отождествляется с риском портфеля.

  Климат

  Предположим, существуют два города с одинаковой средней максимальной дневной температурой, но один расположен на побережье, а другой на равнине. Известно, что в городах, расположенных на побережье, множество различных максимальных дневных температур меньше, чем у городов, расположенных внутри континента. Поэтому среднеквадратическое отклонение максимальных дневных температур у прибрежного города будет меньше, чем у второго города, несмотря на то, что среднее значение этой величины у них одинаковое, что на практике означает, что вероятность того, что максимальная температура воздуха каждого конкретного дня в году будет сильнее отличаться от среднего значения, выше у города, расположенного внутри континента.

  Спорт

  Предположим, что есть несколько футбольных команд, которые оцениваются по некоторому набору параметров, например, количеству забитых и пропущенных голов, голевых моментов и т. п. Наиболее вероятно, что лучшая в этой группе команда будет иметь лучшие значения по большему количеству параметров. Чем меньше у команды среднеквадратическое отклонение по каждому из представленных параметров, тем предсказуемее является результат команды, такие команды являются сбалансированными. С другой стороны, у команды с большим значением среднеквадратического отклонения сложно предсказать результат, что в свою очередь объясняется дисбалансом, например, сильной защитой, но слабым нападением.

  Использование среднеквадратического отклонения параметров команды позволяет в той или иной мере предсказать результат матча двух команд, оценивая сильные и слабые стороны команд, а значит, и выбираемых способов борьбы.

  См. также

  Напишите отзыв о статье "Среднеквадратическое отклонение"

  Литература

  • Боровиков В. STATISTICA. Искусство анализа данных на компьютере: Для профессионалов / В. Боровиков. - СПб. : Питер, 2003. - 688 с. - ISBN 5-272-00078-1 . .

  Статистические показатели Описательная статистика Статистический вывод и проверка гипотез Общая оценка Корреляция и регрессия Графические методы

  Отрывок, характеризующий Среднеквадратическое отклонение

  И, быстро отворив дверь, он вышел решительными шагами на балкон. Говор вдруг умолк, шапки и картузы снялись, и все глаза поднялись к вышедшему графу.
  – Здравствуйте, ребята! – сказал граф быстро и громко. – Спасибо, что пришли. Я сейчас выйду к вам, но прежде всего нам надо управиться с злодеем. Нам надо наказать злодея, от которого погибла Москва. Подождите меня! – И граф так же быстро вернулся в покои, крепко хлопнув дверью.
  По толпе пробежал одобрительный ропот удовольствия. «Он, значит, злодеев управит усех! А ты говоришь француз… он тебе всю дистанцию развяжет!» – говорили люди, как будто упрекая друг друга в своем маловерии.
  Через несколько минут из парадных дверей поспешно вышел офицер, приказал что то, и драгуны вытянулись. Толпа от балкона жадно подвинулась к крыльцу. Выйдя гневно быстрыми шагами на крыльцо, Растопчин поспешно оглянулся вокруг себя, как бы отыскивая кого то.
  – Где он? – сказал граф, и в ту же минуту, как он сказал это, он увидал из за угла дома выходившего между, двух драгун молодого человека с длинной тонкой шеей, с до половины выбритой и заросшей головой. Молодой человек этот был одет в когда то щегольской, крытый синим сукном, потертый лисий тулупчик и в грязные посконные арестантские шаровары, засунутые в нечищеные, стоптанные тонкие сапоги. На тонких, слабых ногах тяжело висели кандалы, затруднявшие нерешительную походку молодого человека.
  – А! – сказал Растопчин, поспешно отворачивая свой взгляд от молодого человека в лисьем тулупчике и указывая на нижнюю ступеньку крыльца. – Поставьте его сюда! – Молодой человек, брянча кандалами, тяжело переступил на указываемую ступеньку, придержав пальцем нажимавший воротник тулупчика, повернул два раза длинной шеей и, вздохнув, покорным жестом сложил перед животом тонкие, нерабочие руки.
  Несколько секунд, пока молодой человек устанавливался на ступеньке, продолжалось молчание. Только в задних рядах сдавливающихся к одному месту людей слышались кряхтенье, стоны, толчки и топот переставляемых ног.
  Растопчин, ожидая того, чтобы он остановился на указанном месте, хмурясь потирал рукою лицо.
  – Ребята! – сказал Растопчин металлически звонким голосом, – этот человек, Верещагин – тот самый мерзавец, от которого погибла Москва.
  Молодой человек в лисьем тулупчике стоял в покорной позе, сложив кисти рук вместе перед животом и немного согнувшись. Исхудалое, с безнадежным выражением, изуродованное бритою головой молодое лицо его было опущено вниз. При первых словах графа он медленно поднял голову и поглядел снизу на графа, как бы желая что то сказать ему или хоть встретить его взгляд. Но Растопчин не смотрел на него. На длинной тонкой шее молодого человека, как веревка, напружилась и посинела жила за ухом, и вдруг покраснело лицо.
  Все глаза были устремлены на него. Он посмотрел на толпу, и, как бы обнадеженный тем выражением, которое он прочел на лицах людей, он печально и робко улыбнулся и, опять опустив голову, поправился ногами на ступеньке.
  – Он изменил своему царю и отечеству, он передался Бонапарту, он один из всех русских осрамил имя русского, и от него погибает Москва, – говорил Растопчин ровным, резким голосом; но вдруг быстро взглянул вниз на Верещагина, продолжавшего стоять в той же покорной позе. Как будто взгляд этот взорвал его, он, подняв руку, закричал почти, обращаясь к народу: – Своим судом расправляйтесь с ним! отдаю его вам!
  Народ молчал и только все теснее и теснее нажимал друг на друга. Держать друг друга, дышать в этой зараженной духоте, не иметь силы пошевелиться и ждать чего то неизвестного, непонятного и страшного становилось невыносимо. Люди, стоявшие в передних рядах, видевшие и слышавшие все то, что происходило перед ними, все с испуганно широко раскрытыми глазами и разинутыми ртами, напрягая все свои силы, удерживали на своих спинах напор задних.
  – Бей его!.. Пускай погибнет изменник и не срамит имя русского! – закричал Растопчин. – Руби! Я приказываю! – Услыхав не слова, но гневные звуки голоса Растопчина, толпа застонала и надвинулась, но опять остановилась.
  – Граф!.. – проговорил среди опять наступившей минутной тишины робкий и вместе театральный голос Верещагина. – Граф, один бог над нами… – сказал Верещагин, подняв голову, и опять налилась кровью толстая жила на его тонкой шее, и краска быстро выступила и сбежала с его лица. Он не договорил того, что хотел сказать.
  – Руби его! Я приказываю!.. – прокричал Растопчин, вдруг побледнев так же, как Верещагин.
  – Сабли вон! – крикнул офицер драгунам, сам вынимая саблю.
  Другая еще сильнейшая волна взмыла по народу, и, добежав до передних рядов, волна эта сдвинула переднии, шатая, поднесла к самым ступеням крыльца. Высокий малый, с окаменелым выражением лица и с остановившейся поднятой рукой, стоял рядом с Верещагиным.
  – Руби! – прошептал почти офицер драгунам, и один из солдат вдруг с исказившимся злобой лицом ударил Верещагина тупым палашом по голове.
  «А!» – коротко и удивленно вскрикнул Верещагин, испуганно оглядываясь и как будто не понимая, зачем это было с ним сделано. Такой же стон удивления и ужаса пробежал по толпе.
  «О господи!» – послышалось чье то печальное восклицание.
  Но вслед за восклицанием удивления, вырвавшимся У Верещагина, он жалобно вскрикнул от боли, и этот крик погубил его. Та натянутая до высшей степени преграда человеческого чувства, которая держала еще толпу, прорвалось мгновенно. Преступление было начато, необходимо было довершить его. Жалобный стон упрека был заглушен грозным и гневным ревом толпы. Как последний седьмой вал, разбивающий корабли, взмыла из задних рядов эта последняя неудержимая волна, донеслась до передних, сбила их и поглотила все. Ударивший драгун хотел повторить свой удар. Верещагин с криком ужаса, заслонясь руками, бросился к народу. Высокий малый, на которого он наткнулся, вцепился руками в тонкую шею Верещагина и с диким криком, с ним вместе, упал под ноги навалившегося ревущего народа.
  Одни били и рвали Верещагина, другие высокого малого. И крики задавленных людей и тех, которые старались спасти высокого малого, только возбуждали ярость толпы. Долго драгуны не могли освободить окровавленного, до полусмерти избитого фабричного. И долго, несмотря на всю горячечную поспешность, с которою толпа старалась довершить раз начатое дело, те люди, которые били, душили и рвали Верещагина, не могли убить его; но толпа давила их со всех сторон, с ними в середине, как одна масса, колыхалась из стороны в сторону и не давала им возможности ни добить, ни бросить его.

  Инструкция

  Пусть имеется несколько чисел, характеризующих -либо однородные величины. Например, результаты измереений, взвешиваний, статистических наблюдений и т.п. Все представленные величины должны измеряться одной и той же измерения. Чтобы найти квадратичное отклонение, проделайте следующие действия.

  Определите среднее арифметическое всех чисел: сложите все числа и разделите сумму на общее количество чисел.

  Определите дисперсию (разброс) чисел: сложите квадраты найденных ранее отклонений и разделите полученную сумму на количество чисел.

  В палате лежат семь больных с температурой 34, 35, 36, 37, 38, 39 и 40 градусов Цельсия.

  Требуется определить среднее отклонение от средней .
  Решение:
  « по палате»: (34+35+36+37+38+39+40)/7=37 ºС;

  Отклонения температур от среднего (в данном случае нормального значения): 34-37, 35-37, 36-37, 37-37, 38-37, 39-37, 40-37, получается: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 (ºС);

  Разделите полученную раннее сумму чисел на их количество. Для точности вычисления лучше воспользоваться калькулятором. Итог деления является средним арифметическим значением слагаемых чисел.

  Внимательно отнеситесь ко всем этапам расчета, так как ошибка хоть в одном из вычислений приведет к неправильному итоговому показателю. Проверяйте полученные расчеты на каждом этапе. Среднее арифметическое число имеет тот же измеритель, что и слагаемые числа, то есть если вы определяете среднюю посещаемость , то все показатели у вас будут «человек».

  Данный способ вычисления применяется только в математических и статистических расчетах. Так, например, среднего арифметического значения в информатике имеет другой алгоритм вычисления. Среднее арифметическое значение является очень условным показателем. Оно показывает вероятность того или иного события при условии, что у него только один фактор либо показатель. Для наиболее глубокого анализа необходимо учитывать множество факторов. Для этого применяется вычисление более общих величин.

  Среднее арифметическое - одна из мер центральной тенденции, широко используемая в математике и статистических расчетах. Найти среднее арифметическое число для нескольких значений очень просто, но у каждой задачи есть свои нюансы, знать которые для выполнения верных расчетов просто необходимо.

  Количественных результатов проведенных подобных опытов.

  Как найти среднее арифметическое число

  Поиск среднего арифметического числа для массива чисел следует начинать с определения алгебраической суммы этих значений. К примеру, если в массиве присутствуют числа 23, 43, 10, 74 и 34, то их алгебраическая сумма будет равна 184. При записи среднее арифметическое обозначается буквой μ (мю) или x (икс с чертой). Далее алгебраическую сумму следует разделить на количество чисел в массиве. В рассматриваемом примере чисел было пять, поэтому среднее арифметическое будет равно 184/5 и составит 36,8.

  Особенности работы с отрицательными числами

  Если в массиве присутствуют отрицательные числа, то нахождение среднего арифметического значения происходит по аналогичному алгоритму. Разница имеется только при рассчетах в среде программирования, или же если в задаче есть дополнительные условия. В этих случаях нахождение среднего арифметического чисел с разными знаками сводится к трем действиям:

  1. Нахождение общего среднего арифметического числа стандартным методом;
  2. Нахождение среднего арифметического отрицательным чисел.
  3. Вычисление среднего арифметического положительных чисел.

  Ответы каждого из действий записываются через запятую.

  Натуральные и десятичные дроби

  Если массив чисел представлен десятичными дробями, решение происходит по методу вычисления среднего арифметического целых чисел, но сокращение результата производится по требованиям задачи к точности ответа.

  При работе с натуральными дробями их следует привести к общему знаменателю, который умножается на количество чисел в массиве. В числителе ответа будет сумма приведенных числителей исходных дробных элементов.

  Проведение любого статистического анализа немыслимо без расчетов. В это статье рассмотрим, как рассчитать дисперсию, среднеквадратичное отклонение, коэффиент вариации и другие статистические показатели в Excel.

  Максимальное и минимальное значение

  Среднее линейное отклонение

  Среднее линейное отклонение представляет собой среднее из абсолютных (по модулю) отклонений от в анализируемой совокупности данных. Математическая формула имеет вид:

  a – среднее линейное отклонение,

  X – анализируемый показатель,

  X̅ – среднее значение показателя,

  n

  В Эксель эта функция называется СРОТКЛ .

  

  После выбора функции СРОТКЛ указываем диапазон данных, по которому должен произойти расчет. Нажимаем «ОК».

  Дисперсия

  {module 111}

  Возможно, не все знают, что такое , поэтому поясню, — это мера, характеризующая разброс данных вокруг математического ожидания. Однако в распоряжении обычно есть только выборка, поэтому используют следующую формулу дисперсии:

  

  s 2 – выборочная дисперсия, рассчитанная по данным наблюдений,

  X – отдельные значения,

  X̅ – среднее арифметическое по выборке,

  n – количество значений в анализируемой совокупности данных.

  Соответствующая функция Excel — ДИСП.Г . При анализе относительно небольших выборок (примерно до 30-ти наблюдений) следует использовать , которая рассчитывается по следующей формуле.

  

  Отличие, как видно, только в знаменателе. В Excel для расчета выборочной несмещенной дисперсии есть функция ДИСП.В .

  

  Выбираем нужный вариант (генеральную или выборочную), указываем диапазон, жмем кнопку «ОК». Полученное значение может оказаться очень большим из-за предварительного возведения отклонений в квадрат. Дисперсия в статистике очень важный показатель, но ее обычно используют не в чистом виде, а для дальнейших расчетов.

  Среднеквадратичное отклонение

  Среднеквадратичное отклонение (СКО) – это корень из дисперсии. Этот показатель также называют стандартным отклонением и рассчитывают по формуле:

  по генеральной совокупности

  

  по выборке

  

  Можно просто извлечь корень из дисперсии, но в Excel для среднеквадратичного отклонения есть готовые функции: СТАНДОТКЛОН.Г и СТАНДОТКЛОН.В (по генеральной и выборочной совокупности соответственно).

  

  Стандартное и среднеквадратичное отклонение, повторюсь, — синонимы.

  Далее, как обычно, указываем нужный диапазон и нажимаем на «ОК». Среднеквадратическое отклонение имеет те же единицы измерения, что и анализируемый показатель, поэтому является сопоставимым с исходными данными. Об этом ниже.

  Коэффициент вариации

  Все показатели, рассмотренные выше, имеют привязку к масштабу исходных данных и не позволяют получить образное представление о вариации анализируемой совокупности. Для получения относительной меры разброса данных используют коэффициент вариации , который рассчитывается путем деления среднеквадратичного отклонения на среднее арифметическое . Формула коэффициента вариации проста:

  Для расчета коэффициента вариации в Excel нет готовой функции, что не есть большая проблема. Расчет можно произвести простым делением стандартного отклонения на среднее значение. Для этого в строке формул пишем:

  СТАНДОТКЛОН.Г()/СРЗНАЧ()

  В скобках указывается диапазон данных. При необходимости используют среднее квадратичное отклонение по выборке (СТАНДОТКЛОН.В).

  Коэффициент вариации обычно выражается в процентах, поэтому ячейку с формулой можно обрамить процентным форматом. Нужная кнопка находится на ленте на вкладке «Главная»:

  

  Изменить формат также можно, выбрав из контекстного меню после выделения нужной ячейки и нажатия правой кнопкой мышки.

  Коэффициент вариации, в отличие от других показателей разброса значений, используется как самостоятельный и весьма информативный индикатор вариации данных. В статистике принято считать, что если коэффициент вариации менее 33%, то совокупность данных является однородной, если более 33%, то – неоднородной. Эта информация может быть полезна для предварительного описания данных и определения возможностей проведения дальнейшего анализа. Кроме того, коэффициент вариации, измеряемый в процентах, позволяет сравнивать степень разброса различных данных независимо от их масштаба и единиц измерений. Полезное свойство.

  Коэффициент осцилляции

  Еще один показатель разброса данных на сегодня — коэффициент осцилляции. Это соотношение размаха вариации (разницы между максимальным и минимальным значением) к средней. Готовой формулы Excel нет, поэтому придется скомпоновать три функции: МАКС, МИН, СРЗНАЧ.

  

  Коэффициент осцилляции показывает степень размаха вариации относительно средней, что также можно использовать для сравнения различных наборов данных.

  В целом, с помощью Excel многие статистические показатели рассчитываются очень просто. Если что-то непонятно, всегда можно воспользоваться окошком для поиска во вставке функций. Ну, и Гугл в помощь.

  По данным выборочного обследования произведена группировка вкладчиков по размеру вклада в Сбербанке города:

  Определите:

  1) размах вариации;

  2) средний размер вклада;

  3) среднее линейное отклонение;

  4) дисперсию;

  5) среднее квадратическое отклонение;

  6) коэффициент вариации вкладов.

  Решение:

  Данный ряд распределения содержит открытые интервалы. В таких рядах условно принимается величина интервала первой группы равна величине интервала последующей, а величина интервала последней группы равна величине интервала предыдущей.

  Величина интервала второй группы равна 200, следовательно, и величина первой группы также равна 200. Величина интервала предпоследней группы равна 200, значит и последний интервал будет иметь величину, равную 200.

  1) Определим размах вариации как разность между наибольшим и наименьшим значением признака:

  Размах вариации размера вклада равен 1000 рублей.

  2) Средний размер вклада определим по формуле средней арифметической взвешенной.

  Предварительно определим дискретную величину признака в каждом интервале. Для этого по формуле средней арифметической простой найдём середины интервалов.

  Среднее значение первого интервала будет равно:

  

  второго - 500 и т. д.

  Занесём результаты вычислений в таблицу:

  Размер вклада, руб.	Число вкладчиков, f	Середина интервала, х	xf
  200-400	32	300	9600
  400-600	56	500	28000
  600-800	120	700	84000
  800-1000	104	900	93600
  1000-1200	88	1100	96800
  Итого	400	-	312000

  Средний размер вклада в Сбербанке города будет равен 780 рублей:

  3) Среднее линейное отклонение есть средняя арифметическая из абсолютных отклонений отдельных значений признака от общей средней:

  

  Порядок расчёта среднего линейонго отклонения в интервальном ряду распределения следующий:

  1. Вычисляется средняя арифметическая взвешенная, как показано в п. 2).

  2. Определяются абсолютные отклонения вариант от средней:

  3. Полученные отклонения умножаются на частоты:

  4. Находится сумма взвешенных отклонений без учёта знака:

  5. Сумма взвешенных отклонений делится на сумму частот:

  Удобно пользоваться таблицей расчётных данных:

  Размер вклада, руб.	Число вкладчиков, f	Середина интервала, х
  200-400	32	300	-480	480	15360
  400-600	56	500	-280	280	15680
  600-800	120	700	-80	80	9600
  800-1000	104	900	120	120	12480
  1000-1200	88	1100	320	320	28160
  Итого	400	-	-	-	81280

  

  Среднее линейное отклонение размера вклада клиентов Сбербанка составляет 203,2 рубля.

  4) Дисперсия - это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от средней арифметической.

  Расчёт дисперсии в интервальных рядах распределения производится по формуле:

  

  Порядок расчёта дисперсии в этом случае следующий:

  1. Определяют среднюю арифметическую взвешенную, как показано в п. 2).

  2. Находят отклонения вариант от средней:

  3. Возводят в квадрат отклонения каждой варианты от средней:

  4. Умножают квадраты отклонений на веса (частоты):

  

  5. Суммируют полученные произведения:

  

  6. Полученная сумма делится на сумму весов (частот):

  

  Расчёты оформим в таблицу:

  Размер вклада, руб.	Число вкладчиков, f	Середина интервала, х
  200-400	32	300	-480	230400	7372800
  400-600	56	500	-280	78400	4390400
  600-800	120	700	-80	6400	768000
  800-1000	104	900	120	14400	1497600
  1000-1200	88	1100	320	102400	9011200
  Итого	400	-	-	-	23040000